Uporedi razlomke s različitim nazivnicima kalkulator. Poređenje običnih razlomaka. Zadaci za usmeni rad
IN Svakodnevni životčesto moramo porediti razlomke. U većini slučajeva to ne uzrokuje nikakve probleme. Zaista, svi razumiju da je pola jabuke veća od četvrtine. Ali kada je to potrebno zapisati kao matematički izraz, to može biti teško. Primjenom sljedećih matematičkih pravila možete lako riješiti ovaj problem.
Kako uporediti razlomke sa istim nazivnikom
Ove razlomke je najlakše uporediti. U ovom slučaju koristite pravilo:
Od dva razlomka sa istim imeniocem, ali različitim brojiocem, veći će biti onaj čiji je brojilac veći, a manji će biti onaj čiji je brojilac manji.
Na primjer, uporedite razlomke 3/8 i 5/8. Imenioci u ovom primjeru su jednaki, tako da primjenjujemo ovo pravilo. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.
Zaista, ako dvije pice izrežete na 8 kriški, tada je 3/8 kriški uvijek manje od 5/8.
Upoređivanje razlomaka sa istim brojiocima i različitim nazivnicima
U ovom slučaju se upoređuju veličine udjela u nazivniku. Pravilo koje treba primijeniti je:
Ako dva razlomka imaju isti brojnik, tada je veći razlomak onaj sa manjim nazivnikom.
Na primjer, uporedite razlomke 3/4 i 3/8. U ovom primjeru brojnici su jednaki, pa koristimo drugo pravilo. Razlomak 3/4 ima manji nazivnik od razlomka 3/8. Dakle 3/4>3/8
Zaista, ako pojedete 3 kriške pice podijeljene na 4 dijela, bit ćete sitiji nego da ste pojeli 3 kriške pizze podijeljene na 8 dijelova.
Uspoređivanje razlomaka s različitim brojiocima i nazivnicima
Primjenjujemo treće pravilo:
Poređenje razlomaka sa različitim nazivnicima treba uporediti sa razlomcima sa istim imeniocima. Da biste to učinili, trebate dovesti razlomke na zajednički nazivnik i koristiti prvo pravilo.
Na primjer, trebate uporediti razlomke i . Da bismo odredili veći razlomak, ova dva razlomka dovodimo do zajedničkog nazivnika:
- Sada pronađimo drugi dodatni faktor: 6:3=2. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:
Dva nejednaka razlomka podliježu daljem poređenju kako bi se utvrdilo koji je razlomak veći, a koji manji. Za poređenje dva razlomka postoji pravilo za poređenje razlomaka koje ćemo formulisati u nastavku, a analiziraćemo i primjere primjene ovog pravila pri upoređivanju razlomaka sa istim i različitim nazivnicima. U zaključku ćemo pokazati kako uporediti razlomke s istim brojiocima bez svođenja na zajednički nazivnik, a također ćemo razmotriti kako uporediti običan razlomak s prirodnim brojem.
Navigacija po stranici.
Poređenje razlomaka sa istim nazivnicima
Poređenje razlomaka sa istim nazivnicima je u suštini poređenje broja jednakih udjela. Na primjer, običan razlomak 3/7 određuje 3 dijela 1/7, a razlomak 8/7 odgovara 8 dijelova 1/7, pa se poređenje razlomaka s istim imeniocima 3/7 i 8/7 svodi na poređenje brojeva 3 i 8, odnosno na poređenje brojilaca.
Iz ovih razmatranja slijedi pravilo za poređenje razlomaka sa istim nazivnikom: Od dva razlomka sa istim nazivnikom, veći razlomak je onaj čiji je brojilac veći, a manji razlomak čiji je brojilac manji.
Navedeno pravilo objašnjava kako upoređivati razlomke sa istim nazivnicima. Razmotrimo primjer primjene pravila za poređenje razlomaka s istim nazivnicima.
Primjer.
Koji je razlomak veći: 65/126 ili 87/126?
Rješenje.
Imenioci upoređenih običnih razlomaka su jednaki, a brojnik 87 razlomka 87/126 veći je od brojnika 65 razlomka 65/126 (ako je potrebno, pogledajte poređenje prirodnih brojeva). Dakle, prema pravilu za poređenje razlomaka sa istim nazivnicima, razlomak 87/126 je veći od razlomka 65/126.
odgovor:
Uspoređivanje razlomaka sa različitim nazivnicima
Uspoređivanje razlomaka sa različitim nazivnicima može se svesti na poređenje razlomaka sa istim nazivnicima. Da biste to učinili, samo trebate dovesti upoređene obične razlomke na zajednički nazivnik.
Dakle, da biste uporedili dva razlomka sa različitim nazivnicima, trebate
- dovesti razlomke na zajednički nazivnik;
- uporedi dobijene razlomke sa istim nazivnicima.
Pogledajmo primjer rješenja.
Primjer.
Uporedite razlomak 5/12 sa razlomkom 9/16.
Rješenje.
Prvo, dovodimo ove razlomke s različitim nazivnicima na zajednički imenilac (vidi pravilo i primjere svođenja razlomaka na zajednički imenilac). Kao zajednički imenilac, uzmite najmanji zajednički imenilac jednak LCM(12, 16)=48. Tada će dodatni faktor razlomka 5/12 biti broj 48:12=4 , a dodatni faktor razlomka 9/16 će biti broj 48:16=3 . Dobijamo 
I 
.
Uspoređujući rezultujuće razlomke, imamo . Dakle, razlomak 5/12 je manji od razlomka 9/16. Ovim je poređenje razlomaka sa različitim nazivnicima završeno.
odgovor:
Idemo na drugi način za upoređivanje razlomaka s različitim nazivnicima, koji će vam omogućiti da uporedite razlomke bez svođenja na zajednički nazivnik i sve poteškoće povezane s ovim procesom.
Da bi se uporedili razlomci a / b i c / d, oni se mogu svesti na zajednički imenilac b d, jednak proizvodu nazivnika upoređenih razlomaka. U ovom slučaju, dodatni faktori razlomaka a/b i c/d su brojevi d i b, redom, a originalni razlomci se svode na razlomke i sa zajedničkim nazivnikom b d . Podsjećajući na pravilo za poređenje razlomaka sa istim nazivnicima, zaključujemo da je poređenje originalnih razlomaka a/b i c/d svedeno na poređenje proizvoda a d i c b .
Iz ovoga slijedi sljedeće pravilo za poređenje razlomaka sa različitim nazivnicima: ako je a d>b c , onda , i ako je a d Razmislite o upoređivanju razlomaka s različitim nazivnicima na ovaj način. Primjer. Uporedite obične razlomke 5/18 i 23/86. Rješenje. U ovom primjeru, a=5, b=18, c=23 i d=86. Izračunajmo proizvode a d i b c. Imamo d=5 86=430 i b c=18 23=414 . Od 430>414, razlomak 5/18 je veći od razlomka 23/86. odgovor: Razlomci sa istim brojiocima i različitim imeniocima svakako se mogu porediti koristeći pravila o kojima se govorilo u prethodnom paragrafu. Međutim, rezultat poređenja takvih razlomaka lako je dobiti poređenjem nazivnika ovih razlomaka. Postoji takav pravilo za poređenje razlomaka sa istim brojiocem: Od dva razlomka sa istim brojiocem, onaj sa manjim nazivnikom je veći, a onaj sa većim imeniocem manji. Razmotrimo primjer rješenja. Primjer. Uporedite razlomke 54/19 i 54/31. Rješenje. Pošto su brojnici upoređenih razlomaka jednaki, a imenilac 19 razlomka 54/19 manji je od imenioca 31 razlomka 54/31, onda je 54/19 veći od 54/31. Nastavljamo sa proučavanjem razlomaka. Danas ćemo govoriti o njihovom poređenju. Tema je zanimljiva i korisna. To će omogućiti početniku da se osjeća kao naučnik u bijelom mantilu. Suština poređenja razlomaka je da se otkrije koji je od dva razlomka veći ili manji. Da biste odgovorili na pitanje koji je od dva razlomka veći ili manji, koristite više (>) ili manje (<). Matematičari su se već pobrinuli za gotova pravila koja vam omogućavaju da odmah odgovorite na pitanje koji je razlomak veći, a koji manji. Ova pravila se mogu bezbedno primeniti. Pogledat ćemo sva ova pravila i pokušati otkriti zašto se to događa. Razlomci koji se upoređuju nailaze na različite. Najuspješniji slučaj je kada razlomci imaju iste nazivnike, ali različite brojnike. U ovom slučaju vrijedi sljedeće pravilo: Od dva razlomka sa istim nazivnikom, veći razlomak je onaj sa većim brojnikom. I prema tome, manji razlomak će biti, u kojem je brojnik manji. Na primjer, uporedimo razlomke i odgovorimo koji je od ovih razlomaka veći. Ovdje su imenioci isti, ali su brojnici različiti. Razlomak ima veći brojilac od razlomka. Dakle, razlomak je veći od . Pa mi odgovaramo. Odgovorite pomoću ikone više (>) Ovaj primjer se može lako razumjeti ako razmislimo o pizzama koje su podijeljene na četiri dijela. više pica nego pica: Sljedeći slučaj u koji možemo ući je kada su brojnici razlomaka isti, ali su imenioci različiti. Za takve slučajeve predviđeno je sljedeće pravilo: Od dva razlomka sa istim brojiocem, razlomak sa manjim nazivnikom je veći. Razlomak sa većim nazivnikom je stoga manji. Na primjer, uporedimo razlomke i . Ovi razlomci imaju isti brojnik. Razlomak ima manji imenilac od razlomka. Dakle, razlomak je veći od razlomka. Pa mi odgovaramo: Ovaj primjer se može lako razumjeti ako razmislimo o pizzama koje su podijeljene na tri i četiri dijela. više pica nego pica: Svi će se složiti da je prva pica veća od druge. Često se dešava da morate porediti razlomke sa različitim brojiocima i različitim nazivnicima. Na primjer, usporedite razlomke i . Da biste odgovorili na pitanje koji je od ovih razlomaka veći ili manji, potrebno ih je dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika. Tada će biti lako odrediti koji je razlomak veći ili manji. Dovedemo razlomke na isti (zajednički) imenilac. Naći (LCM) nazivnike oba razlomka. LCM nazivnika razlomaka i tog broja je 6. Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka: Sada pronađimo drugi dodatni faktor. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo dodatni faktor 2. Zapisujemo ga preko drugog razlomka: Pomnožite razlomke njihovim dodatnim faktorima: Došli smo do zaključka da se razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da uporedimo takve razlomke. Od dva razlomka sa istim nazivnicima, veći razlomak je onaj sa većim brojnikom: Pravilo je pravilo, a mi ćemo pokušati otkriti zašto više od . Da biste to učinili, odaberite cijeli broj u razlomku. Nema potrebe da birate ništa u razlomku, jer je ovaj razlomak već tačan. Nakon odabira cjelobrojnog dijela u razlomku, dobijamo sljedeći izraz: Sada možete lako razumjeti zašto više od . Nacrtajmo ove razlomke u obliku pica: 2 cijele pice i pizze, više od pizza. Kada oduzimate mješovite brojeve, ponekad otkrijete da stvari ne idu tako glatko kako biste željeli. Često se dešava da prilikom rješavanja primjera odgovor nije onakav kakav bi trebao biti. Prilikom oduzimanja brojeva, minus mora biti veći od oduzetog. Samo u ovom slučaju će se dobiti normalan odgovor. Na primjer, 10−8=2 10 - smanjeno 8 - oduzeto 2 - razlika Minus 10 je veći od oduzetog 8, tako da smo dobili normalan odgovor 2. Sada da vidimo šta se dešava ako je minus manji od oduzetog. Primjer 5−7=−2 5 - smanjeno 7 - oduzeto −2 je razlika U ovom slučaju izlazimo iz okvira uobičajenih brojeva i nalazimo se u svijetu negativnih brojeva, gdje nam je prerano hodati, pa čak i opasno. Za rad s negativnim brojevima potrebna vam je odgovarajuća matematička podloga, koju još nismo dobili. Ako pri rješavanju primjera za oduzimanje ustanovite da je minus manji od oduzetog, onda takav primjer za sada možete preskočiti. Dozvoljeno je raditi s negativnim brojevima tek nakon što ih proučite. Ista je situacija i sa razlomcima. Minuend mora biti veći od oduzetog. Samo u ovom slučaju biće moguće dobiti normalan odgovor. A da biste razumjeli da li je smanjeni razlomak veći od oduzetog, morate biti u mogućnosti da uporedite te razlomke. Na primjer, riješimo primjer. Ovo je primjer oduzimanja. Da biste ga riješili, morate provjeriti je li smanjeni razlomak veći od oduzetog. više nego tako da se možemo sigurno vratiti na primjer i riješiti ga: Sada riješimo ovaj primjer Provjerite je li smanjeni razlomak veći od oduzetog. Nalazimo da je manje: U ovom slučaju je razumnije zaustaviti se i ne nastaviti dalje računanje. Vratit ćemo se na ovaj primjer kada budemo proučavali negativne brojeve. Također je poželjno provjeriti mješovite brojeve prije oduzimanja. Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Prvo provjerite da li je smanjeni mješoviti broj veći od oduzetog. Da bismo to učinili, mješovite brojeve prevodimo u nepravilne razlomke: Dobili smo razlomke s različitim brojiocima i različitim nazivnicima. Da biste uporedili takve razlomke, morate ih dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika. Nećemo detaljno opisivati kako to učiniti. Ako imate problema, obavezno ponovite. Nakon svođenja razlomaka na isti nazivnik, dobijamo sljedeći izraz: Sada moramo uporediti razlomke i . To su razlomci sa istim nazivnicima. Od dva razlomka sa istim nazivnikom, veći razlomak je onaj sa većim brojnikom. Razlomak ima veći brojilac od razlomka. Dakle, razlomak je veći od razlomka. To znači da je minus veći od oduzetog. Tako da se možemo vratiti na naš primjer i hrabro ga riješiti: Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza Provjerite da li je minus veći od oduzetog. Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke: Dobili smo razlomke s različitim brojiocima i različitim nazivnicima. Ove razlomke dovodimo do istog (zajedničkog) nazivnika: Sada uporedimo razlomke i . Razlomak ima brojilac manji od razlomka, pa je razlomak manji od razlomka Prilikom rješavanja jednačina i nejednačina, kao i zadataka s modulima, potrebno je locirati pronađene korijene na realnoj pravoj. Kao što znate, pronađeni korijeni mogu biti različiti. Mogu biti ovako:, ili mogu biti ovako:,. Shodno tome, ako brojevi nisu racionalni već iracionalni (ako ste zaboravili šta je, pogledajte u temi), ili su složeni matematički izrazi, onda je njihovo postavljanje na brojevnu pravu vrlo problematično. Štaviše, kalkulatori se ne mogu koristiti na ispitu, a približna kalkulacija ne daje 100% garancije da je jedan broj manji od drugog (šta ako postoji razlika između upoređenih brojeva?). Naravno, znate da su pozitivni brojevi uvijek veći od negativnih, i da ako predstavljamo brojevnu osu, onda kada se uporede, najveći brojevi će biti desno od najmanjih: ; ; itd. Ali da li je uvek tako lako? Gdje na brojevnoj pravoj označavamo . Kako ih uporediti, na primjer, sa brojem? U tome je problem...) U ovom članku ćemo pronaći pogled na sve načine upoređivanja brojeva kako vam to ne bi predstavljalo problem na ispitu! Za početak, razgovarajmo općenito o tome kako i šta usporediti. Važno: poželjno je izvršiti transformacije na način da se znak nejednakosti ne mijenja! Odnosno, u toku transformacija, nepoželjno je množiti negativnim brojem, i zabranjeno je kvadrat ako je jedan od dijelova negativan. Dakle, moramo uporediti dva razlomka: i. Postoji nekoliko opcija kako to učiniti. Zapišimo to kao običan razlomak: - (kao što vidite, smanjio sam i za brojilac i imenilac). Sada treba da uporedimo razlomke: Sada možemo nastaviti porediti i na dva načina. Možemo: Koji je broj veći? Tako je, onaj čiji je brojilac veći, odnosno prvi. Dovodimo ih i do zajedničkog nazivnika: Dobili smo potpuno isti rezultat kao u prethodnom slučaju - prvi broj je veći od drugog: Provjerimo i da li smo ispravno oduzeli jedan? Izračunajmo razliku u brojiocu u prvom i drugom izračunu: Dakle, pogledali smo kako uporediti razlomke, dovodeći ih do zajedničkog nazivnika. Prijeđimo na drugu metodu - upoređivanje razlomaka dovodeći ih do zajedničkog ... brojioca. Da da. Ovo nije greška u kucanju. U školi ovu metodu rijetko ko uči, ali je vrlo često vrlo zgodna. Da biste brzo shvatili njegovu suštinu, postaviću vam samo jedno pitanje - "u kojim slučajevima je vrijednost razlomka najveća?" Naravno, reći ćete "kada je brojilac što veći, a imenilac što manji." Na primjer, sigurno ćete reći da je Istina? A ako trebamo uporediti takve razlomke: Mislim da ćete i znak odmah ispravno staviti, jer su u prvom slučaju podijeljeni na dijelove, a u drugom na cijele, što znači da u drugom slučaju komadići ispadaju vrlo mali, pa prema tome: . Kao što vidite, nazivnici su ovde različiti, ali su brojnici isti. Međutim, da biste uporedili ova dva razlomka, ne morate pronaći zajednički nazivnik. Iako ... pronađite ga i vidite da li je znak poređenja još uvijek pogrešan? Ali znak je isti. Vratimo se našem prvobitnom zadatku - da uporedimo i. Uporedićemo i Ove razlomke ne dovodimo u zajednički nazivnik, već na zajednički brojnik. Za ovo je jednostavno brojilac i imenilac pomnožite prvi razlomak sa. Dobijamo: I. Koji je razlomak veći? Tako je, prvi. Kako porediti razlomke pomoću oduzimanja? Da, vrlo jednostavno. Od jednog razlomka oduzimamo drugi. Ako je rezultat pozitivan, tada je prvi razlomak (smanjeni) veći od drugog (oduzet), a ako je negativan, onda je obrnuto. U našem slučaju, pokušajmo oduzeti prvi razlomak od drugog: . Kao što ste već shvatili, mi također prevodimo u običan razlomak i dobivamo isti rezultat -. Naš izraz postaje: Nadalje, još uvijek moramo pribjeći svođenju na zajednički imenilac. Pitanje je kako: na prvi način pretvaranje razlomaka u neispravne, ili na drugi, kao da se „uklanja“ jedinica? Inače, ova akcija ima potpuno matematičko opravdanje. pogledajte: Druga opcija mi se više sviđa, jer množenje u brojniku kada se svodi na zajednički imenilac postaje mnogo puta lakše. Dovodimo do zajedničkog imenioca: Ovdje je glavna stvar da se ne zbunimo oko kog broja i odakle smo oduzimali. Pažljivo pogledajte tok rješenja i nemojte slučajno zbuniti znakove. Od drugog broja smo oduzeli prvi i dobili negativan odgovor, pa?.. Tako je, prvi broj je veći od drugog. Jasno? Pokušajte uporediti razlomke: Stani, stani. Nemojte žuriti da dovedete do zajedničkog nazivnika ili oduzmete. Pogledajte: lako se može pretvoriti u decimalni razlomak. Koliko će to biti? U redu. Šta na kraju bude više? Ovo je još jedna opcija - poređenje razlomaka svođenjem na decimalu. Da da. I tako je moguće. Logika je jednostavna: kada veći broj podijelimo manjim, u odgovoru dobijemo broj veći od jedan, a ako manji broj podijelimo većim, onda odgovor pada na interval od do. Da zapamtite ovo pravilo, uzmite za poređenje bilo koja dva prosta broja, na primjer, i. Znate li šta je više? Sada podijelimo po. Naš odgovor je . Prema tome, teorija je tačna. Ako podijelimo sa, ono što dobijemo je manje od jedan, što zauzvrat potvrđuje šta je zapravo manje. Pokušajmo ovo pravilo primijeniti na obične razlomke. uporedi: Podijelite prvi razlomak drugim: Skratimo malo malo. Rezultat je manji, pa je dividenda manja od djelitelja, odnosno: Sve smo rastavili moguće opcije poređenja frakcija. Kao što vidite ima ih 5: Spremni za vježbanje? Uporedite razlomke na najbolji način: Uporedimo odgovore: Sada zamislite da ne trebamo upoređivati samo brojeve, već i izraze gdje postoji stepen (). Naravno, lako možete staviti znak: Uostalom, ako stepen zamijenimo množenjem, dobićemo: Iz ovog malog i primitivnog primjera slijedi pravilo: Sada pokušajte uporediti sljedeće: . Takođe možete jednostavno staviti znak: Jer ako zamijenimo stepenovanje množenjem... Općenito, sve razumiješ i uopće nije teško. Poteškoće nastaju samo kada se uporede stepenovi imaju različite osnove i pokazatelje. U ovom slučaju, potrebno je pokušati dovesti do zajedničke osnove. Na primjer: Naravno, znate da ovaj, shodno tome, izraz poprima oblik: Hajde da otvorimo zagrade i uporedimo šta se dešava: Donekle poseban slučaj je kada je baza stepena () manja od jedan. Ako, onda od dva stepena ili više, onaj čiji je indikator manji. Pokušajmo dokazati ovo pravilo. Neka bude. Uvodimo neki prirodni broj kao razliku između i. Logično, zar ne? Sada obratimo pažnju na stanje - . Odnosno: . Shodno tome, . Na primjer: Kao što ste shvatili, razmatrali smo slučaj kada su baze snaga jednake. Sada da vidimo kada je baza u rasponu od do, ali su eksponenti jednaki. Ovdje je sve vrlo jednostavno. Prisjetimo se kako to uporediti s primjerom: Naravno, brzo ste izračunali: Stoga, kada naiđete na slične probleme radi poređenja, imajte na umu neki jednostavan sličan primjer koji možete brzo izračunati i na osnovu ovog primjera zapisati znakove u složeniji. Prilikom izvođenja transformacija, zapamtite da ako množite, zbrajate, oduzimate ili dijelite, tada se sve radnje moraju izvršiti i na lijevoj i na desnoj strani (ako množite sa, tada morate pomnožiti oba). Osim toga, postoje slučajevi kada je bilo kakve manipulacije jednostavno neisplativo. Na primjer, trebate uporediti. U ovom slučaju nije tako teško podići na potenciju i rasporediti znak na osnovu ovoga: Vježbajmo. Uporedite stepene: Spremni za poređenje odgovora? To sam uradio: Počnimo od toga šta su korijeni? Sjećate li se ovog unosa? Korijen realnog broja je broj za koji vrijedi jednakost. Roots neparni stepen postoje za negativne i pozitivne brojeve, i čak i korenje- Samo za pozitivno. Vrijednost korijena je često beskonačna decimala, što otežava njeno precizno izračunavanje, pa je važno biti u mogućnosti uporediti korijene. Ako ste zaboravili šta je i sa čime se jede -. Ako se svega sjećate, naučimo upoređivati korijene korak po korak. Recimo da treba da uporedimo: Da biste uporedili ova dva korijena, ne morate raditi nikakve kalkulacije, samo analizirajte sam koncept "korijena". Shvaćate o čemu pričam? Da, o ovome: inače se može napisati kao treći stepen nekog broja, jednako korijenskom izrazu. Sta jos? ili? Ovo, naravno, možete uporediti bez ikakvih poteškoća. Što veći broj podignemo na stepen, to će biti veća vrijednost. Dakle. Hajde da shvatimo pravilo. Ako su eksponenti korijena isti (u našem slučaju je to), onda je potrebno uporediti korijenske izraze (i) - što je veći korijenski broj, to je veća vrijednost korijena sa jednakim pokazateljima. Teško za pamćenje? Onda samo imajte na umu primjer i. To više? Eksponenti korijena su isti, jer je korijen kvadratan. Korijenski izraz jednog broja () je veći od drugog (), što znači da je pravilo zaista tačno. Ali šta ako su radikalni izrazi isti, ali su stepeni korena različiti? Na primjer: . Takođe je sasvim jasno da će se prilikom vađenja korena većeg stepena dobiti manji broj. Uzmimo za primjer: Označite vrijednost prvog korijena kao, a drugog - kao, zatim: Lako možete vidjeti da bi u ovim jednadžbama trebalo biti više, dakle: Ako su korijenski izrazi isti(u našem slučaju), a eksponenti korijena su različiti(u našem slučaju, ovo je i), tada je potrebno uporediti eksponente(i) - što je veći eksponent, manji je dati izraz. Pokušajte uporediti sljedeće korijene: Hajde da uporedimo rezultate? S tim smo se uspješno nosili :). Postavlja se još jedno pitanje: šta ako smo svi različiti? A stepen i radikalan izraz? Nije sve tako teško, samo treba da se ... "oslobodimo" root-a. Da da. Riješite se toga.) Ako imamo različite stupnjeve i radikalne izraze, moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik (pročitati odjeljak o) za korijen eksponente i podići oba izraza na stepen jednak najmanjem zajedničkom višekratniku. Da smo svi u riječima i riječima. Evo primjera: Tako smo se polako ali sigurno približili pitanju kako uporediti logaritme. Ako se ne sjećate kakva je ovo životinja, savjetujem vam da prvo pročitate teoriju iz odjeljka. Pročitao? Zatim odgovorite na neka važna pitanja: Ako se svega sjećate i dobro ste naučili - počnimo! Da biste međusobno uporedili logaritme, morate znati samo 3 trika: Prvo obratite pažnju na bazu logaritma. Sjećate se da ako je manji, onda funkcija opada, a ako je veća, onda se povećava. Na tome će se zasnivati naše prosudbe. Razmislite o upoređivanju logaritama koji su već svedeni na istu bazu ili argument. Za početak, pojednostavimo problem: ubacimo upoređene logaritme jednake osnove. onda: Sada razmotrite slučajeve u kojima su osnove različite, ali su argumenti isti. Zapišimo sve u općem tabelarnom obliku: Shodno tome, kao što ste već shvatili, kada upoređujemo logaritme, moramo dovesti do iste baze, odnosno argumenta, Do iste baze dolazimo koristeći formulu za prelazak s jedne baze na drugu. Takođe možete uporediti logaritme sa trećim brojem i na osnovu toga zaključiti šta je manje, a šta više. Na primjer, razmislite o tome kako uporediti ova dva logaritma? Mali savjet - za poređenje, logaritam će vam puno pomoći, čiji će argument biti jednak. Mislio? Hajde da odlučimo zajedno. Lako možemo uporediti ova dva logaritma sa vama: Ne znam kako? Vidi gore. Upravo smo ga rastavili. Koji znak će biti tamo? desno: Slažem se? Hajde da uporedimo jedno sa drugim: Trebali biste dobiti sljedeće: Sada spojite sve naše zaključke u jedan. Desilo se? Šta je sinus, kosinus, tangent, kotangens? Čemu služi jedinični krug i kako na njemu pronaći vrijednost trigonometrijskih funkcija? Ako ne znate odgovore na ova pitanja, toplo preporučujem da pročitate teoriju na ovu temu. A ako znate, onda vam upoređivanje trigonometrijskih izraza nije teško! Da malo osvježimo pamćenje. Nacrtajmo jedinični trigonometrijski krug i trokut upisan u njega. Jeste li uspjeli? Sada označite na kojoj strani imamo kosinus, a na kojoj sinus, koristeći stranice trokuta. (Naravno, sjećate se da je sinus omjer suprotne strane prema hipotenuzi, a kosinus susjedne?). Jesi li crtao? Fino! Završni dodir - zapišite gdje ćemo ga imati, gdje i tako dalje. Spustiti? Uf) Uporedite šta se desilo sa mnom i tobom. Phew! A sada krenimo sa poređenjem! Pretpostavimo da trebamo uporediti i . Nacrtajte ove uglove koristeći nagovještaje u kutijama (gdje smo označili gdje), postavljajući tačke na jedinični krug. Jeste li uspjeli? To sam i uradio. Sada spustimo okomicu od tačaka koje smo označili na kružnici na osu... Koju? Koja os pokazuje vrijednost sinusa? U redu, . Evo šta biste trebali dobiti: Gledajući ovu cifru, koja je veća: ili? Naravno, jer je poenta iznad tačke. Slično, poredimo vrijednost kosinusa. Mi samo spuštamo okomicu na osu ... Desno, . U skladu s tim, gledamo koja je točka desno (dobro, ili viša, kao u slučaju sinusa), tada je vrijednost veća. Verovatno već znate kako da uporedite tangente, zar ne? Sve što treba da znate je šta je tangenta. Dakle, šta je tangenta?) Tako je, omjer sinusa i kosinusa. Da bismo uporedili tangente, crtamo i ugao, kao u prethodnom slučaju. Recimo da treba da uporedimo: Jesi li crtao? Sada također označavamo vrijednosti sinusa na koordinatnoj osi. Zabilježeno? A sada naznačite vrijednosti kosinusa na koordinatnoj liniji. Desilo se? uporedimo: Sada analizirajte ono što ste napisali. - veliki segment dijelimo na mali. Odgovor će biti vrijednost koja je tačno veća od jedan. zar ne? A kad malo podijelimo velikim. Odgovor će biti broj koji je tačno manji od jedan. Dakle, vrijednost kog trigonometrijskog izraza je veća? desno: Kao što sada razumijete, poređenje kotangensa je isto, samo obrnuto: gledamo kako su segmenti koji definiraju kosinus i sinus međusobno povezani. Pokušajte sami uporediti sljedeće trigonometrijske izraze: Primjeri. Odgovori. Koji od brojeva je veći: ili? Odgovor je očigledan. A sada: ili? Nije više tako očigledno, zar ne? I tako: ili? Često morate znati koji je od brojčanih izraza veći. Na primjer, kada rješavate nejednačinu, stavite tačke na osu ispravnim redoslijedom. Sada ću vas naučiti da uporedite takve brojeve. Ako trebate uporediti brojeve i, stavite znak između njih (izveden od latinske riječi Versus ili skraćeno vs - protiv):. Ovaj znak zamjenjuje nepoznati znak nejednakosti (). Nadalje, izvršit ćemo identične transformacije dok ne postane jasno koji znak treba staviti između brojeva. Suština poređenja brojeva je sljedeća: tretiramo znak kao da je neka vrsta znaka nejednakosti. A s izrazom možemo učiniti sve što obično radimo s nejednačinama: Važno: poželjno je izvršiti transformacije na način da se znak nejednakosti ne mijenja! Odnosno, u toku transformacija, nepoželjno je množiti negativnim brojem, a nemoguće je kvadrirati ako je jedan od dijelova negativan. Pogledajmo nekoliko tipičnih situacija. Primjer. Šta je više: ili? Rješenje. Budući da su obje strane nejednakosti pozitivne, možemo kvadrirati da se riješimo korijena: Primjer. Šta je više: ili? Rješenje. I ovdje možemo kvadrirati, ali to će nam samo pomoći da se riješimo kvadratnog korijena. Ovdje je potrebno podići do tog stepena da oba korijena nestanu. To znači da eksponent ovog stepena mora biti djeljiv i sa (stepen prvog korijena) i sa. Ovaj broj je, pa ga dižemo na stepen: Primjer. Šta je više: ili? Rješenje. Pomnožite i podijelite svaku razliku konjugiranim zbrojem: Očigledno je imenilac na desnoj strani veći od nazivnika na lijevoj strani. Dakle, desni razlomak je manji od lijevog: Upamtimo to. Primjer. Šta je više: ili? Rješenje. Naravno, mogli bismo sve ujednačiti, pregrupirati se i ponovo poravnati. Ali možete učiniti nešto pametnije: Može se vidjeti da je svaki član na lijevoj strani manji od svakog člana na desnoj strani. Prema tome, zbir svih članova na lijevoj strani manji je od zbira svih članova na desnoj strani. Ali budite oprezni! Pitali smo više... Desna strana je veća. Primjer. Uporedite brojeve i. Rješenje. Zapamtite trigonometrijske formule: Provjerimo u kojim četvrtima su tačke i leže na trigonometrijskom krugu. Ovdje također koristimo jednostavno pravilo: . Sa ili, tj. Kada se znak promijeni: . Primjer. Napravite poređenje: . Rješenje. Ako i, onda (zakon tranzitivnosti). Primjer. Uporedite. Rješenje. Hajde da uporedimo brojeve ne jedni s drugima, već sa brojem. Očigledno je da. S druge strane, . Primjer. Šta je više: ili? Rješenje. Oba broja su veća, ali manja. Odaberite broj tako da je veći od jednog, ali manji od drugog. Na primjer, . hajde da proverimo: Ništa posebno. Kako se riješiti logaritama detaljno je opisano u temi. Osnovna pravila su: \[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \klin (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \klin y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] Također možemo dodati pravilo o logaritmima s različitim bazama i istim argumentom: To se može objasniti na sljedeći način: što je baza veća, to će se manje morati podići da bi se dobila ista. Ako je baza manja, onda je tačno suprotno, jer je odgovarajuća funkcija monotono opadajuća. Primjer. Uporedite brojeve: i. Rješenje. Prema gore navedenim pravilima: A sada napredna formula. Pravilo za poređenje logaritama može se napisati i kraće: Primjer. Šta je više: ili? Rješenje. Primjer. Uporedite koji je od brojeva veći: . Rješenje. 1. Eksponencijacija Ako su obje strane nejednakosti pozitivne, mogu se kvadrirati da se riješi korijena 2. Množenje konjugatom Konjugat je množitelj koji nadopunjuje izraz sa formulom za razliku kvadrata: - konjugat za i obrnuto, jer . 3. Oduzimanje 4. Divizija U ili to jest Kada se znak promijeni: 5. Poređenje sa trećim brojem Ako i tada 6. Poređenje logaritama Osnovna pravila: Logaritmi sa različitim bazama i istim argumentom: Postanite student YouClevera, Pripremite se za OGE ili USE iz matematike po cijeni "šoljica kafe mjesečno", I također dobijte neograničen pristup udžbeniku "YouClever", programu obuke "100gia" (knjiga rješenja), neograničenom probnom USE i OGE, 6000 zadataka sa analizom rješenja i drugim YouClever i 100gia servisima. Ciljevi lekcije: Koraci lekcije: 1. Organizaciona. Započnimo lekciju riječima francuskog pisca A. Francea: "Učenje može biti zabavno.... Da biste probavili znanje, morate ga apsorbirati s apetitom." Poslušajmo ovaj savjet, pokušajmo biti pažljivi, upijajmo znanje sa velikom željom, jer. biće nam od koristi u budućnosti. 2. Aktuelizacija znanja učenika. 1.) Frontalni usmeni rad učenika. Svrha: ponoviti obrađeno gradivo koje je potrebno prilikom učenja novog: A) pravilni i nepravilni razlomci; (Radi se na fajlovima. Učenici ih imaju na raspolaganju na svakom času. Na njima se markerom ispisuju odgovori, a zatim se brišu nepotrebne informacije.) Zadaci za usmeni rad. 1. Imenujte dodatni razlomak u lancu: A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7. 2. Dovedite razlomke na novi nazivnik 30: 1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10. Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka: 1/5 i 2/7; 3/4 i 1/6; 2/9 i 1/2. 2.) Situacija u igri. Ljudi, naš poznati klovn (učenici su ga upoznali na početku školske godine) zamolio me je da mu pomognem da riješi problem. Ali mislim da vi možete pomoći našem prijatelju i bez mene. I sljedeći zadatak. “Uporedi razlomke: a) 1/2 i 1/6; Ljudi, da pomognemo klovnu, šta da naučimo? Svrha časa, zadaci (učenici samostalno formulišu). Učitelj im pomaže postavljanjem pitanja: a) koji od parova razlomaka već možemo uporediti? b) koji nam je alat potreban za upoređivanje razlomaka? 3. Momci u grupama (u stalnom više nivoa). Svaka grupa dobija zadatak i uputstva za njegovu realizaciju. Prva grupa :
Uporedite miješane razlomke: a) 1 1/2 i 2 5/6; i izvesti pravilo za izjednačavanje mješovitih razlomaka sa istim i različitim cijelim dijelovima. Uputa: Poređenje mješovitih razlomaka (pomoću snopa brojeva) Druga grupa: Uporedi razlomke s različitim nazivnicima i različitim brojnicima. (koristite snop brojeva) a) 6/7 i 9/14; Uputstvo Treća grupa: Poređenje razlomaka sa jedinicom. a) 2/3 i 1; Uputstvo Razmotrite sve slučajeve: (koristite zrake brojeva) a) Ako je brojnik razlomka jednak nazivniku, ………; Formulirajte pravilo. Četvrta grupa: Uporedi razlomke: a) 5/8 i 3/8; Uputstvo Koristite snop brojeva. Uporedi brojioce i izvedi zaključak, počevši od riječi: „Iz dva razlomka sa istim nazivnicima……“. Peta grupa: Uporedi razlomke: a) 1/6 i 1/3; 0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__ Formulirajte pravilo za poređenje razlomaka sa istim brojiocima. Uputstvo Uporedite nazivnike i izvući zaključak, počevši od riječi: “Od dva razlomka sa istim brojiocima………..”. Šesta grupa: Uporedi razlomke: a) 4/3 i 5/6; b) 7/2 i 1/2 koristeći brojevnu pravu 0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__ Formulirajte pravilo za poređenje pravih i nepravilnih razlomaka. Uputstvo. Razmislite koji je razlomak uvijek veći, tačan ili pogrešan. 4. Diskusija o zaključcima u grupama. Riječ svakoj grupi. Formulisanje pravila učenika i njihovo poređenje sa standardima odgovarajućih pravila. Zatim se svakom učeniku daju ispisi pravila za poređenje različitih vrsta običnih razlomaka. 5. Vraćamo se na zadatak postavljen na početku lekcije. (Zajedno rješavamo problem klovna). 6. Rad u sveskama. Koristeći pravila za upoređivanje razlomaka, učenici, pod vodstvom nastavnika, upoređuju razlomke: a) 8/13 i 8/25; (moguće je pozvati učenika u tablu). 7. Učenici se pozivaju da urade test upoređujući razlomke za dvije opcije. 1 opcija. 1) uporedi razlomke: 1/8 i 1/12 a) 1/8 > 1/12; 2) Što je veće: 5/13 ili 7/13? a) 5/13; 3) Što je manje: 2/3 ili 4/6? a) 2/3; 4) Koji od razlomaka je manji od 1:3/5; 17/9; 7/7? a) 3/5; 5) Koji od razlomaka je veći od 1: ?; 7/8; 4/3? a) 1/2; 6) Uporedi razlomke: 2 1/5 i 1 7/9 a) 2 1/5<1 7/9; Opcija 2. 1) uporedi razlomke: 3/5 i 3/10 a) 3/5 > 3/10; 2) Što je veće: 10/12 ili 1/12? a) jednaki su; 3) Što je manje: 3/5 ili 1/10? a) 3/5; 4) Koji je od razlomaka manji od 1: 4/3; 1/15; 16/16? a) 4/3; 5) Koji je od razlomaka veći od 1: 2/5; 9/8; 11/12? a) 2/5; 6) Uporedi razlomke: 3 1/4 i 3 2/3 a) 3 1/4 = 3 2/3; Odgovori na test: Opcija 1: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a Opcija 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c 8. Još jednom se vraćamo na svrhu lekcije. Provjeravamo pravila poređenja i dajemo diferencirani domaći zadatak: 1,2,3 grupe - smislite dva primjera za svako pravilo i riješite ih. 4,5,6 grupa - br. 83 a, b, c, br. 84 a, b, c (iz udžbenika).Upoređivanje razlomaka sa istim brojiocem
Poređenje razlomaka sa istim nazivnicima
Upoređivanje razlomaka sa istim brojiocem
Uspoređivanje razlomaka s različitim brojiocima i različitim nazivnicima
Oduzimanje mješovitih brojeva. Teški slučajevi.
Poređenje frakcija
Opcija 1. Dovedite razlomke na zajednički imenilac.
1)
2)Opcija 2. Poređenje razlomaka svođenjem na zajednički brojnik.
Opcija 3. Poređenje razlomaka oduzimanjem.
Opcija 4. Poređenje razlomaka pomoću dijeljenja.
2. Poređenje stepena
3. Poređenje brojeva s korijenom
4. Poređenje logaritama
, pri čemu
, pri čemu
5. Poređenje trigonometrijskih izraza.
POREĐENJE BROJEVA. PROSJEČAN NIVO.
1. Eksponencijacija.
2. Množenje konjugatom.
3. Oduzimanje
4. Divizija.
5. Uporedite brojeve sa trećim brojem
6. Šta raditi s logaritmima?
POREĐENJE BROJEVA. UKRATKO O GLAVNOM
PREOSTALE 2/3 ČLANKA DOSTUPNE SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!
B) dovođenje razlomaka na novi nazivnik;
C) pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika;
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.
b) 3/5 i 1/3;
c) 5/6 i 1/6;
d) 12/7 i 4/7;
e) 3 1/7 i 3 1/5;
f) 7 5/6 i 3 1/2;
g) 1/10 i 1;
h) 10/3 i 1;
i) 7/7 i 1.”
b) 3 1/2 i 3 4/5
b) 5/11 i 1/22
b) 8/7 i 1;
c) 10/10 i 1 i formulišite pravilo.
b) Ako je brojnik razlomka manji od nazivnika,………;
c) Ako je brojnik razlomka veći od nazivnika, ………. .
b) 1/7 i 4/7 i formulisati pravilo za poređenje razlomaka sa istim nazivnikom.
b) 4/9 i 4/3 koristeći brojevnu pravu:
b) 11/42 i 3/42;
c) 7/5 i 1/5;
d) 18/21 i 7/3;
e) 2 1/2 i 3 1/5;
f) 5 1/2 i 5 4/3;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8=1/12
b) 7/13;
c) jednaki su
b) 4/6;
c) jednaki su
b) 17/9;
c) 7/7
b) 7/8;
c) 4/3
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 >1 7/9
b) 3/5<3/10;
c) 3/5=3/10
b) 10/12;
c) 1/12
b) 1/10;
c) jednaki su
b) 1/15;
c) 16/16
b) 9/8;
c) 11/12
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3